lunes, 27 de junio de 2011

3.2 Longitud de curvas

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.
Definición:
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había descubierto una aproximación rectangularpara calcular el área bajo una curva con un método de agotamiento, pocos creyeron que era posible que una curva tuviese una longitud definida, como las líneas rectas. Las primeras mediciones se hicieron posibles, como ya es común en el cálculo, a través de aproximaciones: los matemáticos de la época trazaban un polígono dentro de la curva, y calculaban la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor.
Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva s que va desde un punto a a uno b. Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa.


PRACTICA LONGITUD DE CURVAS
REFERENCIA:
http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco
EJEMPLO VIDEO:
http://www.youtube.com/watch?v=QLFhBPOtF4s

3.3 Calculo de volumenes solidos en revolucion

Cálculo de volúmenes

Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.

1. Volúmenes de revolución: El Método de los discos

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura es:

Volumen del disco =

Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, consideremos una función continua f (x ) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido de revolución.

Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado en la definición de integral definida.

Elegimos una partición regular de [a, b]:

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

siendo:

, la altura (anchura) de los cilindros parciales

el radio de los cilindros parciales

Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del sólido; es decir:

Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:

Además, si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:

2. Volúmenes de revolución: El Método de las arandelas

El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución con un agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela representativa. La arandela se obtiene girando un rectángulo alrededor de un eje. Si R y r son los radios externos e internos de la arandela, y es la anchura de la arandela, entonces el volumen viene dado por:

Volumen de la arandela =

Entonces, generalizando de forma análoga como se hizo en el método de los discos, si tenemos dos funciones continuas f (x) y g (x) definidas en un intervalo cerrado [a,b] con 0" g(x) " f(x), y las rectas x = a, y x = b, el volumen engendrado se calcula restando los sólidos de revolución engendrados por los recintos de ambas funciones, es decir:

Si las funciones se cortan, habrá que calcular los volúmenes de los sólidos engendrados en cada uno de los subintervalos donde se puede aplicar el método anterior.

3. Método de secciones conocidas

En este apartado veremos cómo se calcula el volumen de algunos cuerpos geométricos cuando conocemos el área de las bases de los cilindros parciales en que hemos dividido el sólido. Con el método de discos, podemos hallar el volumen de un sólido que tenga una sección circular cuya área sea A = R2. Podemos generalizar este método a sólidos de cualquier forma siempre y cuando sepamos la fórmula del área de una sección arbitraria, como cuadrados, rectángulos, triángulos, semicírculos y trapecios.

Consideremos un sólido que tiene la propiedad de que la sección transversal a una recta dada tiene área conocida. Esto equivale a decir intuitivamente que en cada corte que hacemos, conocemos el área de la sección correspondiente.

En particular, supongamos que la recta es el eje OX y que el área de la sección transversal está dada por la función A(x), definida y continua en [a,b]. La sección A(x) está producida por el plano a perpendicular a OX .

Siguiendo un proceso similar al realizado en la definición de la integral de Riemann:

Elegimos una partición regular de [a,b]:

Estas divisiones determinan en el sólido n secciones o rodajas cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un cilindro es R2 , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

siendo:

Siendo ci un punto intermedio del intervalo [xi-1,xi]

= xi -xi-1, la altura de los cilindros parciales

R2 = A(ci) el área de la base de los cilindros parciales

Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del sólido; es decir:

Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:

Para hallar el volumen de un sólido por el método de las secciones, se procede como se indica a continuación:

1. Esbozar la figura, incluyendo un eje perpendicular a las secciones de área conocida (es decir, un eje OX)

2. Escoger una sección perpendicular al eje OX.

3. Expresar el área A (x) de la base de la sección en términos de su posición x sobre el eje OX.

4. Integrar entre los límites apropiados.

4. Volúmenes de revolución: Método de capas

En esta sección estudiamos un método alternativo para el cálculo de un volumen de un sólido de revolución,

un método que emplea capas cilíndricas.

Para introducir el método de capas, consideramos un rectángulo representativo, donde:

= anchura del rectángulo (espesor).

h = altura del rectángulo.

p = distancia del centro del rectángulo al eje del giro (radio medio).

Cuando este rectángulo gira en torno al eje de revolución, engendra una capa cilíndrica (o tubo) de anchura . Para calcular el volumen de esta capa consideramos dos cilindros. El radio del mayor corresponde al radio externo de la capa, y el radio del menor al radio interno de la capa. Puesto que p es el radio medio de la capa, sabemos que el radio externo es p + ( /2), y el radio interno es p-( /2). Por tanto, el volumen de

la capa, viene dado por la diferencia:

Volumen de la capa = volumen del cilindro - volumen del agujero=

= 2 ph = 2 (radio medio)(altura)(espesor)

Usamos esta fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución como sigue. Suponemos que la región plana gira sobre una recta y engendra así dicho sólido. Si colocamos un rectángulo de anchura y paralelamente al eje de revolución, entonces al hacer girar la región plana en torno al eje de revolución, el rectángulo genera una capa de volumen:

V = 2 [p(y)h(y)] y

Si aproximamos el volumen del sólido por n de tales capas de anchura y, altura h( yi), y radio medio p( yi ), tenemos:

volumen del sólido =

Tomando el límite cuando n!", tenemos que:

Volumen del sólido =

Por tanto, podemos enunciar el método de capas de la siguiente forma:

Para calcular el volumen de un sólido de revolución con el método de capas, se usa una de las dos siguientes opciones:

Eje horizontal de revolución:

Eje vertical de revolución:

Para hallar el volumen de un sólido por el método de capas, se procede como se indica a continuación.

1. Esbozar la región plana que va a ser girada, hallando los puntos de intersección de las curvas que la limitan.

2. Sobre el dibujo hallar un rectángulo paralelo al eje de revolución.

3. Teniendo como base el boceto, escribir el volumen de la capa.

4. Integrar entre los límites apropiados.

Observación: Los método de discos y de capas se distinguen porque en el de discos el rectángulo representativo es siempre perpendicular al eje de giro, mientras que en el de capas es paralelo.

Con frecuencia uno de los dos métodos es preferible al otro. 


PRACTICAS SOLIDOS EN REVOLUCION:









Fuente: http://html.rincondelvago.com/calculo-de-volumenes_2.html

3.4 Calculo de centroides

El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente.

Se consideran tres casos específicos:

VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:

                                                       X = “ x dv Y = “ y dv Z = “ z dv
                                                                 “ dv “ dv “ dv

AREA. De manera semejante, el centroide para el area superficial de un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el area en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de area en torno a los ejes de coordenadas a saber.

                                                      X = “ x dA Y = “ y dA Z = “ z dA
                                                               “ dvA “ dA “ dA

LINEA. Si la geomentria del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una linea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente:

X = “ x dL Y = “ y dL Z = “ z dL
“ dL “ dL “ dL

EJEMPLO VIDEO:
http://www.youtube.com/watch?v=md9zfdoHnT8


referencia:
http://www.mitecnologico.com/Main/Centroides

3.5 Aplicaciones Integral

·        Área entre curvas.
·        Sólidos de revolución.
·        Longitud de curvas.
·        Centroides de figuras planas.
·        Momentos de Inercia de cuerpos planos.
El objetivo de la presente sección es estudiar cada una de esas diferentes aplicaciones y se comenzará con la aplicación más común y que a su vez motivó los conceptos básicos de la integral: el área bajo la curva.
Area entre curvas


La integral representa la acumulación de las pequeñas variaciones en una situación dada, por ello podemos responder a la pregunta: Si se tiene una curva ¿Cuánto mide? ¿Cómo la mido? ¿Qué son las pequeñas variaciones en ese caso?
Solidos en revolucion
En los cuerpos físicos ocurren muchos fenómenos asociados a su geometría, dentro de esos fenómenos se presenta la ocurrencia de la masa, el peso y por tanto los efectos de la atracción gravitatoria, observemos ahora dos conceptos físicos necesarios para el estudio de cantidades físicas como las mencionadas.
EJEMPLO VIDEO:
http://www.youtube.com/watch?v=Xd66FaZdxuQ

viernes, 10 de junio de 2011

4.1 SERIES

Series y Convergencias:

Definición de Series infinitas:

Si {an}es una sucesión infinita,entoces:

ðoo=1 an= a1 + a2 + a3 + …+an +…

se llama una serie infinita o simplemente una serie. Los números a1, a2 ,a3, ........ se llaman los términos de la serie.

Para hallar las sumas de una serie infinita consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales:

S1= a1

S2= a1 + a2

S3= a1 + a2 + a3

Sn= a1 + a2 + a3 + an +…….

Si esta sucesión converge y su suma es la que se indica en la siguiente definiciones:

Para la serie infinita ðan , la n-ésima suma parcial viene dada por :

Sn= a1 + a2 + a3 +……….+ an

Si la sucesión de sumas parciales {Sn}converge a S,diremos que la serie ðan converge . Llamaremos a S suma de la serie y escribiremos

S= a1 + a2 + a3 +…+ an +…..

Si {Sn} diverge, diremos que la serie es divergente.

Por lo tanto esta definición implica que una serie puede ser identificada con su sucesión de sumas parciales

de manera que las siguientes propiedades son consecuencias directa de sus análogos en sucesiones.

Propiedades de las Series Infinitas :

Si ðan = A , ðbn = B y c es un número real, las siguientes series convergen las sumas que se indican.

1. ðoon=1 can = cA 2. . ðoon=1 (an + bn) = A + B

3. ðoon=1 (an + bn)= A -B

Si se suprimen los N términos de una serie ,ello no destruye su convergencia ( o divergencia)

Supresión de los N primeros términos de una serie:

Para cualquier entero porsitivo N, las series

ðoon=1 an= a1 + a2 + a3 +… y ðoon= N+1 an= aN+1 + aN+2 + aN+3 +…..

Son ambas convergentes o ambas divergentes.Si ambas convergen sus sumas difieren por la suma parcial Sn.

Criterio del término n-ésimo para la divergencia:

Si la sucesión {an} no converge a 0, entonces la serie ðan diverge.

Demostración si la serie ðan converge, {an} converge a 0.supongamos que la serie dada converge y que :

ðoon=1 an= lím n-oo Sn = L

Entonces como: Sn= Sn-1 + an y lím n-oo Sn = lím n-oo Sn-1 = L

Se sigue que: L= límn-oo Sn= límn-oo (Sn-1 +an) = límn-oo an = L + límn-oo an

Lo cual exige que {an} converja a 0.

Usando el criterio del n-ésimo término :

Determinar , mediante el criterio precedente ,cuales de estas series divergen:

A) ðoon=0 2n B) ðoon=1 n!/(2n! +1)

Límn-oo 2n = oo y límn-oo n!/2n! +1 = límn-oo 1/ 2+(1/n!) = ½

Que por el criterio n-ésimo implica que ambas son divergentes.

Definición de serie geométrica:

La serie dada por : ðoon=0 arn= a + ar + ar2 + ......... +arn +...., a diferente de 0, es llamada serie geométrica de razón r, el siguiente teorema da las condiciones para que sea convergente o divergente:

Convergencia de una serie geométrica : Una serie geométrica de razón r diverge si [r] mayor o igual a 1 . Si 0 es menor que [r] y menor que 1,entonces la serie converge con la suma:



ðoon=0 arn = a/ (1-r) , 0 menor que [r] menor que 1





Ejemplos de Series Geométricas:

La serie Geométrica:


ðoon=0 3/2n = ðoon=0 3(1/2)2 = 3(1) + 3(1/2) + 3(1/2)2 +….

Tiene razón r = ½ con a= 3 como 0 es menor que [r]y es menor que 1 la serie converge a :

a/1-r = 3/1-(1/2) = 6

La serie geométrica :


ðoon=0 (3/2)n = 1 +3/2 + 9/4 + 27/8 +…..



Tiene razón r = 3/2, como [r] es mayor que 1 , la serie diverge

FUENTE: http://html.rincondelvago.com/sucesiones-y-series.html

miércoles, 8 de junio de 2011

4.1.1 Definicion de Serie Finita

Serie finita:

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos.
donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, i=1,2,3……….
Las series convergen o divergen.
Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge. Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).
§  si L < 1, la serie converge.
§  si L > 1, entonces la serie diverge.
§  si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.


lunes, 6 de junio de 2011

4.1.2 Definicion de Serie Infinita

Series infinitas

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, i = 1,2,3,\ldots

Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.
Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.
Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:

teorema:
Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .


jueves, 2 de junio de 2011

Serie de Potencias

Serie de Potencia

 Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ∞Σ n=0 an(x−c)n. El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término n-ésimo de la serie es an(x−c)n). Si los coeficientes a0, a1, am−1 son nulos, la serie suele escribirse ∞Σ n=m an(x−c)n. En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios. ¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x =c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situación es bastante satisfactoria.
EJEMPLOS:
La serie geométrica  es una serie de potencias absolutamente convergente si 1 es divergente
La serie de potencias  es absolutamente convergente para todo X
La serie de potencias  solamente converge para X=0

REFERENCIAS:
Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

http://www.youtube.com/watch?v=NHlNnlKtYcE