3.4 Calculo de centroides

El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente.

Se consideran tres casos específicos:

VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:

                                                       X = “ x dv Y = “ y dv Z = “ z dv

                                                                 “ dv “ dv “ dv

AREA. De manera semejante, el centroide para el area superficial de un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el area en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de area en torno a los ejes de coordenadas a saber.

                                                      X = “ x dA Y = “ y dA Z = “ z dA

                                                               “ dvA “ dA “ dA

LINEA. Si la geomentria del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una linea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente:

X = “ x dL Y = “ y dL Z = “ z dL

“ dL “ dL “ dL

EJEMPLO VIDEO:

http://www.youtube.com/watch?v=md9zfdoHnT8


referencia:
http://www.mitecnologico.com/Main/Centroides

3.5 Aplicaciones Integral

·        Área entre curvas.

·        Sólidos de revolución.

·        Longitud de curvas.

·        Centroides de figuras planas.

·        Momentos de Inercia de cuerpos planos.

El objetivo de la presente sección es estudiar cada una de esas diferentes aplicaciones y se comenzará con la aplicación más común y que a su vez motivó los conceptos básicos de la integral: el área bajo la curva.

Area entre curvas

La integral representa la acumulación de las pequeñas variaciones en una situación dada, por ello podemos responder a la pregunta: Si se tiene una curva ¿Cuánto mide? ¿Cómo la mido? ¿Qué son las pequeñas variaciones en ese caso?

Solidos en revolucion

En los cuerpos físicos ocurren muchos fenómenos asociados a su geometría, dentro de esos fenómenos se presenta la ocurrencia de la masa, el peso y por tanto los efectos de la atracción gravitatoria, observemos ahora dos conceptos físicos necesarios para el estudio de cantidades físicas como las mencionadas.

EJEMPLO VIDEO:

http://www.youtube.com/watch?v=Xd66FaZdxuQ

4.1 SERIES

Series y Convergencias:

Definición de Series infinitas:

Si {an}es una sucesión infinita,entoces:

ðoo=1 an= a1 + a2 + a3 + …+an +…

se llama una serie infinita o simplemente una serie. Los números a1, a2 ,a3, ........ se llaman los términos de la serie.

Para hallar las sumas de una serie infinita consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales:

S1= a1

S2= a1 + a2

S3= a1 + a2 + a3

Sn= a1 + a2 + a3 + an +…….

Si esta sucesión converge y su suma es la que se indica en la siguiente definiciones:

Para la serie infinita ðan , la n-ésima suma parcial viene dada por :

Sn= a1 + a2 + a3 +……….+ an

Si la sucesión de sumas parciales {Sn}converge a S,diremos que la serie ðan converge . Llamaremos a S suma de la serie y escribiremos

S= a1 + a2 + a3 +…+ an +…..

Si {Sn} diverge, diremos que la serie es divergente.

Por lo tanto esta definición implica que una serie puede ser identificada con su sucesión de sumas parciales

de manera que las siguientes propiedades son consecuencias directa de sus análogos en sucesiones.

Propiedades de las Series Infinitas :

Si ðan = A , ðbn = B y c es un número real, las siguientes series convergen las sumas que se indican.

1. ðoon=1 can = cA 2. . ðoon=1 (an + bn) = A + B

3. ðoon=1 (an + bn)= A -B

Si se suprimen los N términos de una serie ,ello no destruye su convergencia ( o divergencia)

Supresión de los N primeros términos de una serie:

Para cualquier entero porsitivo N, las series

ðoon=1 an= a1 + a2 + a3 +… y ðoon= N+1 an= aN+1 + aN+2 + aN+3 +…..

Son ambas convergentes o ambas divergentes.Si ambas convergen sus sumas difieren por la suma parcial Sn.

Criterio del término n-ésimo para la divergencia:

Si la sucesión {an} no converge a 0, entonces la serie ðan diverge.

Demostración si la serie ðan converge, {an} converge a 0.supongamos que la serie dada converge y que :

ðoon=1 an= lím n-oo Sn = L

Entonces como: Sn= Sn-1 + an y lím n-oo Sn = lím n-oo Sn-1 = L

Se sigue que: L= límn-oo Sn= límn-oo (Sn-1 +an) = límn-oo an = L + límn-oo an

Lo cual exige que {an} converja a 0.

Usando el criterio del n-ésimo término :

Determinar , mediante el criterio precedente ,cuales de estas series divergen:

A) ðoon=0 2n B) ðoon=1 n!/(2n! +1)

Límn-oo 2n = oo y límn-oo n!/2n! +1 = límn-oo 1/ 2+(1/n!) = ½

Que por el criterio n-ésimo implica que ambas son divergentes.

Definición de serie geométrica:

La serie dada por : ðoon=0 arn= a + ar + ar2 + ......... +arn +...., a diferente de 0, es llamada serie geométrica de razón r, el siguiente teorema da las condiciones para que sea convergente o divergente:

Convergencia de una serie geométrica : Una serie geométrica de razón r diverge si [r] mayor o igual a 1 . Si 0 es menor que [r] y menor que 1,entonces la serie converge con la suma:



ðoon=0 arn = a/ (1-r) , 0 menor que [r] menor que 1





Ejemplos de Series Geométricas:
•
La serie Geométrica:


ðoon=0 3/2n = ðoon=0 3(1/2)2 = 3(1) + 3(1/2) + 3(1/2)2 +….

Tiene razón r = ½ con a= 3 como 0 es menor que [r]y es menor que 1 la serie converge a :

a/1-r = 3/1-(1/2) = 6
•
La serie geométrica :


ðoon=0 (3/2)n = 1 +3/2 + 9/4 + 27/8 +…..



Tiene razón r = 3/2, como [r] es mayor que 1 , la serie diverge

FUENTE: http://html.rincondelvago.com/sucesiones-y-series.html

4.1.1 Definicion de Serie Finita

Serie finita:

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos.

donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, i=1,2,3……….

Las series convergen o divergen.

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge. Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

§  si L < 1, la serie converge.

§  si L > 1, entonces la serie diverge.

§  si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

4.1.2 Definicion de Serie Infinita

Series infinitas

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,

Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:

teorema:

Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .

Fuente: http://www.monografias.com/trabajos11/traaprox/traaprox.shtml#positynegat y http://www.youtube.com/watch?v=_Sj4a-IQs_4&feature=related

Evaluacion

Por medio de la presente informo que el equipo obtuvo el 100 % de los 4 subtemas publicados.

Atte.
Ing.Jose Enrique Marquez Eloiza

4.2 Serie numérica y convergencia.