Series y Convergencias:
Definición de Series infinitas:
Si {an}es una sucesión infinita,entoces:
ðoo=1 an= a1 + a2 + a3 + …+an +…
se llama una serie infinita o simplemente una serie. Los números a1, a2 ,a3, ........ se llaman los términos de la serie.
Para hallar las sumas de una serie infinita consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales:
S1= a1
S2= a1 + a2
S3= a1 + a2 + a3
Sn= a1 + a2 + a3 + an +…….
Si esta sucesión converge y su suma es la que se indica en la siguiente definiciones:
Para la serie infinita ðan , la n-ésima suma parcial viene dada por :
Sn= a1 + a2 + a3 +……….+ an
Si la sucesión de sumas parciales {Sn}converge a S,diremos que la serie ðan converge . Llamaremos a S suma de la serie y escribiremos
S= a1 + a2 + a3 +…+ an +…..
Si {Sn} diverge, diremos que la serie es divergente.
Por lo tanto esta definición implica que una serie puede ser identificada con su sucesión de sumas parciales
de manera que las siguientes propiedades son consecuencias directa de sus análogos en sucesiones.
Propiedades de las Series Infinitas :
Si ðan = A , ðbn = B y c es un número real, las siguientes series convergen las sumas que se indican.
1. ðoon=1 can = cA 2. . ðoon=1 (an + bn) = A + B
3. ðoon=1 (an + bn)= A -B
Si se suprimen los N términos de una serie ,ello no destruye su convergencia ( o divergencia)
Supresión de los N primeros términos de una serie:
Para cualquier entero porsitivo N, las series
ðoon=1 an= a1 + a2 + a3 +… y ðoon= N+1 an= aN+1 + aN+2 + aN+3 +…..
Son ambas convergentes o ambas divergentes.Si ambas convergen sus sumas difieren por la suma parcial Sn.
Criterio del término n-ésimo para la divergencia:
Si la sucesión {an} no converge a 0, entonces la serie ðan diverge.
Demostración si la serie ðan converge, {an} converge a 0.supongamos que la serie dada converge y que :
ðoon=1 an= lím n-oo Sn = L
Entonces como: Sn= Sn-1 + an y lím n-oo Sn = lím n-oo Sn-1 = L
Se sigue que: L= límn-oo Sn= límn-oo (Sn-1 +an) = límn-oo an = L + límn-oo an
Lo cual exige que {an} converja a 0.
Usando el criterio del n-ésimo término :
Determinar , mediante el criterio precedente ,cuales de estas series divergen:
A) ðoon=0 2n B) ðoon=1 n!/(2n! +1)
Límn-oo 2n = oo y límn-oo n!/2n! +1 = límn-oo 1/ 2+(1/n!) = ½
Que por el criterio n-ésimo implica que ambas son divergentes.
Definición de serie geométrica:
La serie dada por : ðoon=0 arn= a + ar + ar2 + ......... +arn +...., a diferente de 0, es llamada serie geométrica de razón r, el siguiente teorema da las condiciones para que sea convergente o divergente:
Convergencia de una serie geométrica : Una serie geométrica de razón r diverge si [r] mayor o igual a 1 . Si 0 es menor que [r] y menor que 1,entonces la serie converge con la suma:
ðoon=0 arn = a/ (1-r) , 0 menor que [r] menor que 1
Ejemplos de Series Geométricas:
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La serie Geométrica:
ðoon=0 3/2n = ðoon=0 3(1/2)2 = 3(1) + 3(1/2) + 3(1/2)2 +….
Tiene razón r = ½ con a= 3 como 0 es menor que [r]y es menor que 1 la serie converge a :
a/1-r = 3/1-(1/2) = 6
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La serie geométrica :
ðoon=0 (3/2)n = 1 +3/2 + 9/4 + 27/8 +…..
Tiene razón r = 3/2, como [r] es mayor que 1 , la serie diverge
FUENTE: http://html.rincondelvago.com/sucesiones-y-series.html
